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晓宝老师的网易官方博客

物质是一种利益,他能迷失我们的方向,世俗是一种言论,能扰乱我们的价值观

 
 
 

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《几何画板》教程  

2008-03-22 13:23:52|  分类: 工作杂记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前  言

 

如何制作课件是每一位想运用现代技术辅助教学的教师所关心的问题。对于这个问题的回答我们有初学时的困惑,也有经过尝试后的一些思考,但在这里我们无法给您一个完整的答案。谈到课件制作,首先是制作平台的选择。现在可用于课件制作的软件平台很多,我们认为《几何画板》应该是数学教师的首选。

《几何画板》软件是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的数学软件,它的全名是《几何画板--21世纪的动态几何》。1996年我国教育部全国中小学计算机教育研究中心开始大力推广“几何画板”软件,以几何画板软件为教学平台,开始组织“CAI在数学课堂中的应用”研究课题。几年来,几何画板软件越来越多的在教学中得到应用。它简单易学,功能强大。几何画板动态探究数学问题的功能,使学生原本感到枯燥的数学变得形象生动,可以极大地调动学生学习的积极性。

学习数学需要数学逻辑经验的支撑,而数学经验是从操作活动中获得。离开人的活动是没有数学、也学不懂数学的。在老师的引导下,《几何画板》可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境。学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证,在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识,形成丰厚的几何经验背景,从而更有助于学生理解和证明。因此,《几何画板》还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境,有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性,充分体现了现代教学的思想。从这个意义上说《几何画板》不仅应成为教师教学的工具,更应该成为学生的有力的认知工具。在当前大力开展素质教育和减负工作的情形下,把《几何画板》交给学生无异于交给学生一把金钥匙,是一件特别有意义的事。

本教材从用工具构图开始,对4.04版本的几何画板的功能和基本操作进行了比较详细的介绍,其中也有不少精彩的范例,只要您用心领会,多动手操作,相信您能很快在几何画板的使用上得心应手的.

教材中大部分资料来自(qiusir.com网站)画板联盟的《在线教程》,我只作了一些整理工作。前两章由上海甘志高老师编写,第三章由广东的朱宇刚老师编写,《迭代帮助》由天津的张景胜老师翻译。在这里对几位老师的工作表示诚挚的敬意和衷心的感谢

 

 

目       录

 

第一篇    画板入门第一章 用工具框作图 …………………………………………………(3)

第二章 用构造菜单作图 ……………………………………………… (19)

第三章 用变换菜单作图 ……………………………………………… (33)

第四章 动作按钮的制作 ……………………………………………… (51)

第五章 智能化菜单详解 ……………………………………………… (58)

第六章 认识奇妙的参数 ……………………………………………… (64)

第二篇   范例赏析

 

范例1  眩目的动画彩轮 ……………………………………………… (69)

范例2  漂亮的勾股树   ……………………………………………… (70)

范例3 一个梦幻万花筒  ……………………………………………… (72)

范例4 闪烁效果的制作  ……………………………………………… (75)

第三篇  精选附录

 

附录一 迭代帮助文件   ……………………………………………… (79)

附录二 平面几何著名定理 …………………………………………… (87)

附录三 圆锥曲线教材培训 …………………………………………… (93)

 

第一章:用工具框作图迭代】显示初象与原象之间的关系。迭代对话框允许你指定你想对迭代结构的迭代 数。结果为原象及关联于原象的每个对象的迭代图象的集合。

一般地,如果一个几何点A作为原象用于构造一个关联的点A',则这个迭代的图象或是迭代的轨道是A',A''等系列点。在上方左侧的图示三角形ABC和它的中点A'B'C'已经被构造。在上方右侧的图示,三角形的独立顶点已经在迭代对话框与它们的中点建立了映射,此构造关系被迭代了4次。结果是一系列点、线段的图象定义的初始结构,作为三角形向中点三角形迭代。

显示选项

当你使用迭代对话框时,你能用【显示】中的命令来控制迭代的显示。你能:

·         增加或减少迭代的次数。

·         显示完整的迭代,或仅显示最终的迭代。一个对象的系列迭代图象有时称为此对象的

轨道。

注意:当你的迭代规则中只有一个映射时,更多的是希望显示完整的迭代;当有两个或两个以上的映射时,更多的是期望显示最最终的迭代。

迭代实例

在画板中,依照上图定义一个迭代规则,指定原象与相应的初象对应。

示例,以三角形ABC三边中点,构造中点三角形DEF。重复以上过程,以三角形DEF三边中点再构造一中点三角形,如此重复做下去。

 

在画板中指定这样的一个迭代规则,为每个原象定义它的初象。即使需重复的结构包括同三角形三个顶点一样的三个边,你只需用A、B、C、D、E、F这几个点指定迭代规则即可。画板会自动算出这个迭代中那些相关联于原象点的其它对象。在此例中,画板将在迭代中包括三角形的三边。

For best results, construct the entire pre-image but construct only the points of the image.【】 Let Sketchpad construct the other parts of the image.【让画板构造图象的其它部分。】

例如,对中点三角形进行迭代,构造三角形ABC作为原象,中点D、E、F作为初象点。

构造这些对象之前,请先选择A、B、C三点定义为原象,从变换菜单中选择迭代命令弹出迭代对话框,为每个原象选择相应的初象。为三角形每个原象点,点击初象(中点)。当你点击每个中点的时候,画板会同时显示原象三角形迭代的映射结果。对三个原象点与中点映射后,点击【迭代】执行迭代关闭对话框。

你可能需要移动对话框以使画板中的源三角形及它的中点可见

依照你定义迭代规则画板产生映射的一组迭代图象。在这个例子中有六个迭代图象,即源三角形的每个顶点与边。你能选择处理每个分离的迭代图象。例如,你能隐藏或删除源三角形三个顶点的迭代图象,或改变源三角形三条边的迭代图象的颜色。你能用“代属性”改变迭代次数来改变显示的迭代图象。你能用【迭代】创建从原象到初象的一个或多个指定的映射。

迭代属性

 

 

 

只有迭代图象和迭代的规则才有属性面板。用此属性面板设置迭代数,指定是否显示所有迭代或只显示最终迭代,决定随机点在在迭代中的行为。

迭代数: 这个数决定迭代重复多少次。最小值为1,最大值依迭代的复杂程度(越复杂迭代的迭代数的最大值越小,反之越大。 如果迭代数-迭代深度-补充一个度量值或计算值定义,当迭代首次创建时,当前值即为迭代深度,不能被编辑。

 你能通过先选定迭代图象然后用键盘上的+/-来改变迭代数。

显示为: 设置首选项迭代显示所有的迭代图象 (每次迭代生成的图象). 设置末选项迭代仅仅显示最后的一次迭代图象,即使设置了迭代数。

移动对象上的点: “到与初始对象上的点相对类似的位置”,指的是迭代图象每次迭代时某对象上的自由点在对象上的位置与迭代图中相对应对象上的自由点在对象上的位置相类似。“到所在对象的随机位置”,指迭代图象中的某对象上的自由点的位置随机。

       选中迭代图象用键盘!对迭代对象路径上的点进行随机化处理。

迭代和迭代图象

为了迭代一个行为或一个操作重复某些次数。在数学中,迭代指应用某些数学结构,计算结果或其它处理先前结果的相同操作的过程 。此操作必需在一些输入后定义一个输出,并且迭代用前一步的输出作为下一步的输入。

画板允许你对在画板中建立的任何数学关系进行迭代。你能用迭代创建重复的变换。(如棋盘方格),产生不规则碎片形和其它与自身相似的对象,或其它系对象。

在代数学中,一个迭代是一个计算结果的循环(用一个输入值计算一个输出值)。迭代反复地应用前面的计算结果作为下一步迭代的输入。若要开始迭代过程,首先必需有个开始值,称为种子。比如:以5为种子进行加2处理,第一次迭对5进行加2处理,即5+2=7,第二次迭代则对第一次迭代的结果7进行加2处理,即7+2=9 如此下去产生以下数值序列7,9,11,13,15,17,...... 

在几何学中,一个迭代用一个操作处理一组对象产生一组新的对象。源对象组作为输 入,新对象组作为输入。若要开始操作过程,必需有一组对象作为原象。以“向右平移 1厘米”的变换为例,如果你应用此变换于作为原象的三角形ABC,初象为三角形A'B'C'将向右平移1厘米。迭代此变换将产生一个全等的三角形系列,从原象三角形ABC为开始每个都相对于前面的三角形向右平移1厘米。

在这些例子中,把加2操作或向右平移1厘米变换作为任何单独的值或三角形的迭代规 则。在迭代序列中的每个值或图象作为下一步迭代的值或图象。我们说47到49的映射是在加2操作下进行的。所有的迭代规则都是由原象(种子)和映射操作定义的。当你对原象应用一次操作时,初象作为原象的操作结果。当你进行迭代操作时,你可得到第二次,第三次,第四次的迭代图象等等。

多映射迭代

给每个迭代的独立点指一个初象,你能创建一个单一的迭代映射。此映射描述如何变换原象创建一个初象。对于更多的迭代来说,每个迭代步产生一个单独源对象的副本。对于这样的迭代,迭代规则由一个映射组成。可是对于其它的迭代,一步迭代产生两个或更多个源对象的副本。每个源对象的副本需要它自己的映射,因此迭代需要多映射。例如,一个镶嵌有小方格的平等四边行需要你在水平方向垂直方向上迭代棋盘方格。

不规则碎片形和棋盘方格是最普通的几何结构,构造它们的迭代规则需要多迭代映射

用多映射构造一个迭代规则,使用迭代对话框为第一个映射指定1-3步以内的迭代。然后结构菜单中选择【增加新映射】并为第二个映射中的每个源点指定新的初象。当你所有的映射设置好后,点击【迭代】,执行迭代。

 

深度参数

当你定义一个迭代时,你能使用画板中的一个度量值,参数值,计算值来作为迭代的深度。你在选定定义迭代的原象执行【迭代】之前,应该选择一个值作为所定义迭代的深度。按下shift键时点击变换菜单,其中的【迭代】变成了【深度迭代】。选择此命令出现迭代对话框用以定义迭代的一般选项。一旦迭代被定义,你所选择度量值、参数值、计算值的整数部分将被定义为迭代的深度。(如果深度值不合法,将设置深度值为0。如果深度值太大不能显示所有迭代图象,画板用所能显示的最大值作为迭代深度)

如果一个迭代的深度被一个参数或计算结果定义,你不能用属性改变此深度

随机迭代点

有时你会发现指定的某对象上的点作为一个迭代规则原象的初象。例如,类似于其它例子当 中一个三角形三个顶点的中点,你可以映射三角形的顶点到其对应边上的一独立点。此时,【构造】菜单将显示【移对对象上的点到】(这一栏),当你选择【到与初始对象上点相对类似的位置】,画板将显示每个迭代图象上的点到初始对象上点相对类似的位置。如果你拖动被构造对象上的初象点到一个新的位置时,所有的迭代图象将调节相应点到与初始对象上点相对类似的位置。另一方面,如果你选择【到所在对象的随机位置】,每个迭代图象初象点将显示在一个新的位置处。

构造一个迭代后,你能用迭代属性试验以上这两种情况

结构选项

当你使用迭代对话框时,你能使用【结构】来控制迭代的结构。你能:

·     增加迭代映射或删除当前的迭代映射

·     创建的迭代图象是否显示点对象。时常-特别是在多映射迭代时,你不想看到

迭代图象点,只想保留迭代图象的线段,多边形等。此选项打开时画板自动为你

创建没有点的迭代图象,同样选项关闭时画板自动为你创建有点的迭代图象。

·      为所有的迭代度量值创建一个表

·      设置迭代对象上的点处于初始对象上点相对类似的位置。

迭代值表

当你创建一个迭代时,如果某个迭代结果的一个或多个度量值发生改变,画板会创建一个迭代值的。此表为每个可见值建立一个受迭代的影响的列,表的第一列的n个值表示迭代数。(即经过的第几次迭代)表的每行所描述的数据表示在此次迭代上的度量值。

例如:在画板中包函一个参数种子,初始值为100,计算100/2,如果你建立以100为原象以100/2为初象的迭代,画板将产生表,以100/2作为100->100/2的迭代象。

在一个迭代表中的值的行数随着你增加或减少迭代数而自动调整。如果你不想创建迭代值的表,请取消迭代对话框中构造选项菜单中的【生成迭代数据表】,创建迭代所创建的表不需要时,你可以选中此表从画板中删除。

终点

有时你想用迭代图象的最后一个点对象。你想把一个构造关联于这个点上。

用“多映射迭代”生成的迭代,你不能构造它的终点

为了构造一个点迭代图象象的终点,请选择点的迭代图象上的点。从【变换】菜单中选择【终点】,点迭代图象的终点被构造。如果迭代的深度发生变化,则终点将因此而移动。

当你选择某个点迭代图象时,【迭代】命令将变成【终点】

在上面的例子中,一个迭代常常用来构造一个掷球的飞行路径问题。(不显示原象点,定义球的速率和引力的大小)一些次数的迭代后求解球的高,终点被构造并用于度量地面与终点的距离。

使用迭代对话框

构造一个或多个对象的迭代图象:

1.  选择迭代规则的原象。你可以选择独立的路径上的点或独立的参数作为迭代的原象。(总之,初始对象必需是不依赖于其它对象的点或值。依赖于原象的点或值在迭过程中将自动地作为迭代图被迭代)

2.  从变换菜单中执行【迭代】,弹出迭代对话框。

拖对迭代对话框以露出你要点击的初象

3.  在迭代规则中为每个映射中的原象选择相应的初象。为每个原象点选择一个关联于原象点的初象点。为每个原象参数值选择一个关联的初象计算值。迭代规则中初象是相对于原象而言的,当原象位置或值发生变化时初象的位置或值随之变化。

 

4.    你能用【显示】改变迭代的外观。参考“显示选项”对可用选项的描述。

5.    你能用【结构】来改变迭代的结构。参考“结构选项”对可用选项的描述。

6.   一旦你为每个原象指定了初象,点击【迭代】将得到最后的迭代结果。构造的迭代显

示出来。用“迭代属性”来改变迭代的深度或其它属性。

用迭代工作

一旦你创建了一个迭代并产生一些迭代图象,你可以:

·         选择,改变颜色,隐藏或删除整个迭代图象的单个迭代图象。例如,在上面图示的迭

代中,你可能想隐藏或删除图象中迭代三角形的顶点,以致只看到三角形的边。

·         经过数次对结构的迭代后。用属性对话框可以查看任何迭代图象的属性,并且可以调

节迭代数。

·         选择一个或多个迭代图象后你可以用键盘的+/-调节迭代数。

·        用迭代属性对话框改变迭代的其它属性。

当定义一个新的迭代时,你可以用迭代对话框作:

·         创建迭代在迭代中每个迭代步至少产生一个的原象的副本。因此迭代可以创建棋盘方

格和不规则碎片形。

·     在画板中创建迭代的深度被一个参数或其它计算机结果所控制。

如何构造一个雪橇的坐垫

由于迭代功能能应用于画板的任何类型结构,它的一些设置选项可能初次看起来好像比

较复杂另人困惑。最好的方法是通过一个实例来理解它。在这个例子中,你将用迭代定

义一个我们所熟知的雪橇的坐垫。这个不规则的几何图形是用三个小三角形内部替换大

三角。然后将得到的三个小的三角形内部的每一个再由更小的三个三角形内部替换,如

此进行下去。由于在每个阶段你将用三个不同的三角形替换原象三角形,你将需要定义

三个映射。

1.  新建画板,用直尺工具构造一个三角形ABC。

2.  构造其三边的中点。用文本工具把三个顶点标签改为A、B、C,三个中点的标签改

    为D、E、F,下面将解释。

你现在有一个原象三角形,它内含许多小三角形,如三角形AFE,三角形EBD等

等。注意那三个较小的三角形,三角形AFE,三角形FBD和三角形EDC,它们形成

源三角形内部“角”。

3.  选择A、B、C三点,从【变换】菜单中选择【迭代】

4.  在迭代对话框中,映射

    

此映射为源三角形到左边小三角形FBD的映射。你可以看到在源三角形左边小三角

形里有一组迭代三角形。

    注意在这一步中你映射B点到它本身,由于这个顶点,同在源三角形与左边小三角形上。

5.  用【结构】菜单中的【添加新映射】到迭代规则中。在新的映射下,映射

 

6.  用【结构】菜单再次向迭代规则增加第三个和最后一个映射。第三个映射如下

7.  点击【迭代】按钮

     注意不要增加迭代的次数太多,由于每个迭代增加三次

选中迭代生成的图象,你能用键盘的+/-来增加或减少迭代的次数。如果你迭代一个无穷大的次数,最终能得到一个雪橇的坐垫图象。如果你想象在每个迭代步中原始的三角形被小三角形替换,想一想,当增加迭代次数时,所有小三角形的面积将发生什么?由于这三个小三角形不能替换源三角形,面积必然变小。因此迭代图象的面积会变得越来越小。面积受什么限制?如何求出面积值?周长怎样变化?不规则碎片形将以惊人的速度频繁地递增。

在一个新的画板中你重复上面的步骤使面积形象化,在一个三角形ABC里,构造三角形

内部。当你指定完成三个映射确定迭代后,隐藏源三角形ABC的内部,以致能看见源三角形内部的小三角形内部。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

平 面 几 何 著 名 定 理

天津市葛沽第三中学 李玉强

1、欧拉(Euler)线:

同一三角形的垂心、重心、外心三点共线,这条直线称为三角形的欧拉线;且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半

2、九点圆:

任意三角形三边的中点,三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点,共九个点共圆,这个圆称为三角形的九点圆;其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点,其半径等于三角形外接圆半径的一半。

3、费尔马点:

已知P为锐角△ABC内一点,当∠APB=∠BPC=∠CPA=120°时,PA+PB+PC的值最小,这个点P称为△ABC的费尔马点。

4、海伦(Heron)公式:

在△ABC中,边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,若p= (a+b+c),

则△ABC的面积S=

5、塞瓦(Ceva)定理:

在△ABC中,过△ABC的顶点作相交于一点P的直线,分别交边BC、CA、AB与点D、E、F,则 ;其逆亦真

6、密格尔(Miquel)点:

若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点,构成四个三角形,它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF,则这四个三角形的外接圆共点,这个点称为密格尔点。

 

 

 

 

 

 

 

7、葛尔刚(Gergonne)点:

△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F,则AE、BF、CD三线共点,这个点称为葛尔刚点。

8、西摩松(Simson)线:

已知P为△ABC外接圆周上任意一点,PD⊥BC,PE⊥ACPF⊥AB,D、E、F为垂足,则D、E、F三点共线,这条直线叫做西摩松线。

9、黄金分割:

把一条线段(AB)分成两条线段,使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项,这样的分割称为黄金分割

 

 

11、笛沙格(Desargues)定理:

已知在△ ABC与△A'B'C'中,AA'、BB'、CC'三线相交于点O,BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z,则X、Y、Z三点共线;其逆亦真。

12、摩莱(Morley)三角形:

在已知△ABC三内角的三等分线中,分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F,则三角形DDE是正三角形,这个正三角形称为摩莱三角形。

13、帕斯卡(Paskal)定理:

已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G,边BC、EF延长线交于点H,边CD、FA延长线交于点K,则H、G、K三点共线

14、托勒密(Ptolemy)定理:

在圆内接四边形中,AB·CD+AD·BC=AC·BD

15、阿波罗尼斯(Apollonius)圆

一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m:n,则点P的轨迹,是以定比m:n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆,简称“阿氏圆”

17、布拉美古塔(Brahmagupta)定理:

在圆内接四边形ABCD中,AC⊥BD,自对角线的交点P向一边作垂线,其延长线必平分对边

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

《普通高级中学实验教科书·数学》(信息技术整合本)

“第八章 圆锥曲线”教材培训

(2003年8月27日在北师大的发言稿)

各位老师,大家好!

围绕我参与编写的“第八章  圆锥曲线”这部分内容,就如何与现代信息技术整合的问题谈一些个人想法。

知彼:信息技术的特点是“动”。可以在动态中观察数学现象,探究几何图形的性质。在信息技术支持下,“动点”真的动起来了。

知己:平面解析几何的核心是“坐标法”,用代数的方法研究几何图形的性质。主要包括两个部分:求曲线的方程;通过研究方程研究曲线的性质。

一、信息技术用在哪里?《教材》编写意图

在“圆锥曲线”这一章,信息技术大有用武之地。

1.使用技术工具为了更好地体现数学的本质。

在传统的教学中,动点并不动。用信息技术让学生在动态中观察,观察变动中不变的规律——问题的本质。

例1 从椭圆到双曲线。(加强知识之间的内在联系,体验数学的本质)


用图形计算器或计算机画一直线AB,在直线AB上任意画一点C,再画两点F1、F2,使|F1F2|>|AB|,以F1为圆心线段AC(即r1)为半径画圆,以F2为圆心线段BC(即r2)为半径画圆,圆F1与F2的交点是MM´.改变点C的位置,点MM´的轨迹是双曲线.

                                              图1

由上面的画图过程可以看出,双曲线是满足下列条件的点的集合:

                      P={M|||MF1|-|MF2||=2a}.

我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.

在图1中,|AB|=2a,|F1F2|=2c ,|AB|<|F1F2|,ac

    我们仿照求椭圆的标准方程的做法,求双曲线的标准方程.

例2  椭圆的参数方程的教学。(动点变动的原因,抓住问题的本质。)

如图2,为什么要以角∠COA为参数——引起动点M,        图2

变动的是AA在已知圆上转动,刻画转动用角。给课本上的例5加上“分析”。辨析离心角角∠COA与旋转角角∠NOM

2.使用信息技术可以更好地支持“坐标法”

平面解析几何的核心是“坐标法”(解析法),用代数的方法研究几何图形的性质。

在信息技术支持下,可以首先观察、研究图形的几何性质,然后从代数的角度反思原因,寻找代数关系或者代数的证明,即坐标法。

例3  抛物线部分的例3  体现解析法的处理思想。

(又及  椭圆、双曲线、抛物线等曲线的性质的教学。)

例3’ 定长线段的运动。∠AOB=120°,长为4的线段AB的两个端点AB分别在∠AOB的两边OAOB上运动,MAOAMBOB,求点M的轨迹。

3.使用信息技术可以更好地支持“多元联系”

平面解析几何主要包括两个部分:求曲线(轨迹)的方程;通过研究方程研究曲线的性质。在用代数的方法研究曲线的性质之后,可以用信息技术验证代数的结论,增强教学效果,也体现“多元联系表示”。

例4  曲线系方程的讨论。

曲线C的方程为(5-kx2+(k-1)y2=(5-k)(k -1):

(1)就k的不同取值,指出方程(5-kx2+(k-1)y2=(5-k)(k -1)所表示的曲线的形状。(传统教材)

(2)用图形计算器或计算机画出方程所表示的曲线,改变k的值,观察曲线形状的变化。你的结论正确吗?(与技术整合)

4.使用信息技术可以更好地支持学生参与教学

用信息技术,可以更好地让学生参与到教学过程中来。让学生动手操作,发现数学规律。

5.使用信息技术可以更好地支持“研究性学习”。

信息技术可能使得原先有一定难度的学习内容变得容易起来,因此可以根据学生的具体情况让学生学习更多的数学,更好的数学,甚至更难的数学,利用信息技术可以将一些问题适度开放,进行更加深入的研究。

例5  一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。

(小结与复习中的参考题例3)

例6  Rt△ABC的顶点AB都在y轴上,直角顶点Cx轴上,其中A(0,-4)是定点,点M分线段CB的比是1∶2,求点M的轨迹方程.

例7  △ABC的两个顶点 AB的坐标分别是(-6,0)、(6,0),边ACBC所在直线的斜率之积等于kk≠0),求顶点C的轨迹方程.

例8  当点Px0,y0)在圆上时,方程x0xy0yr2表示经过点P的圆x2+y2=r2的切线,当点Px0,y0)不在圆上时,方程x0xy0yr2表示的直线在哪里呢?

再例如,收集椭圆的作法。

二.教学案例(最重要的改变)

习题8.2后的数学实验(圆锥曲线第二定义的教学)

第一层次:课本上的例4。(特殊到一般)

Mxy)与定点F(4,0)的距离和它到直线lx= 的距离的比是常数 ,求点M的轨迹.

在“注”说明了:

一般地,若点Mxy)与定点Fc,0)的距离和它到直线lx= 的距离的比是常数 (ac>0),则点M的轨迹方程是 + =1.这是椭圆的标准方程,点M的轨迹是长轴、短轴长分别为2a、2b的椭圆.

第二层次:有关椭圆的数学实验——也是教材的一部分。

先用图形计算器或者计算机画图,根据要求回答问题:

    如图3,已知B是定圆A内一定点,C是圆上的动点,l是线段BC的垂直平分线。

(1)当点C在圆上运动时,直线l围成一个椭圆,l上哪个点在这个椭圆上?为什么?

(2)如图4,CD是圆A的直径,直线l CD交于M,求M的轨迹方程。      

(3)如图5,CD是圆A的直径,直线lBD的垂直平分线m交于H(△BCD的外心),求点H的轨迹方程。

(4)如图6,CD是圆A的直径,直线lCD交于M,             图3


BD的垂直平分线m交于H,过H作直线kAB,过MMKk,垂足是K,测量 、 (图中椭圆的离心率)。 与 有什么关系?能证明你的结论吗?

                图4                图5                       图6

(5)改变点B的位置,使B在圆外,你的结论该做怎样的修改呢?

第三层次:双曲线的第二定义。

课本例3  如图7,已知点A(-c,0)、Bc,0),以A为圆心2aac)为半径画圆,C是圆上的动点,线段BC的垂直平分线k交直径CDM

   (1)求点M的轨迹方程;

(2)如图,直线k与线段BD的垂直平分线m交于H,过Hx轴的垂线l, = ,求直线l的方程.                       图7

三.信息技术

1.平面截圆锥的制作;

2.《小结与复习》中“与一已知圆外切、另一已知圆内切的圆心轨迹”。

3.定长线段在两条相交直线上的运动。

4.根据圆锥曲线的定义画圆锥曲线。

                                                 

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